Heute wollen wir uns einmal die Mathematik auf der Uhr etwas genauer betrachten. Ihr wisst ja, dass ein Tag 24 Stunden hat. Das Ziffernblatt einer Uhr zeigt 12 Stunden, und wir wollen uns auch unser eigenes Ziffernblatt malen!
Du brauchst:
- Ein aufgemaltes Ziffernblatt mit 12 Stunden
- Ein aufgemaltes Ziffernblatt mir 11 Stunden
- Eine Spielfigur (z.B. “Mensch ärgere Dich nicht”)
“Plus” auf der Uhr geht so:
Wenn wir z.B. 2 + 3 rechnen wollen, setzen wir die Spielfigur auf die “2” und gehen dann 3 Schritte weiter. Ganz einfach! Ebenso geht es z.B. mit 5 + 7 oder 10 + 11. Was kommt dabei jeweils heraus, wenn wir auf dem “11er”-Ziffernblatt laufen? Schreibe ein paar Rechnungen auf.
Gibt es zu jeder Zahl X eine andere Zahl Y, so dass X + Y = 11 herauskommt?
Gilt das auch auf dem 12-Ziffernblatt, d.h. gibt es auch dort zu jeder Zahl X eine andere Zahl Y, so dass X + Y = 12 herauskommt?
“Mal nehmen” auf der Uhr geht so:
Wenn wir z.B. "2 mal 3" rechnen wollen, rechnen wir 2 + 2 + 2. Wir fragen uns jetzt, ob wir immer zur “1” kommen können. Beispielsweise gilt 5 * 9 = 1 auf dem 11-Ziffernblatt. Auf dem 12-Ziffernblatt hingegen gilt 5 * 5 = 1. Probiere es aus!
Gibt es zu jeder Zahl X auf dem 11er-Blatt eine Zahl Y, so dass X * Y = 1 gilt? Wie ist es auf dem 12er-Blatt?
Lade hier die Anleitung als PDF herunter!
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Erklärung
Auf dem 11er-Ziffernblatt können wir für jede Zahl X außer 11 eine Zahl Y finden, so dass X * Y = 1 ergibt:
- 1 * 1 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 2 * 6 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 3 * 4 = 3 + 3 + 3 + 3 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 4 * 3 = 4 + 4 + 4 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 5 * 9 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 6 * 2 = 6 + 6 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 7 * 8 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 8 * 7 = 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 9 * 5 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 1 auf dem 11er-Blatt
- 10 * 10 = 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 1 auf dem 11er-Blatt
Auf dem 12er-Ziffernblatt geht das nicht! Beispielsweise können wir für die Zahl 6 keine Zahl Y finden, so dass 6 * Y = 1 ergibt.
- 6 * 1 = 6 auf dem 12er-Blatt
- 6 * 2 = 12 auf dem 12er-Blatt
- 6 * 3 = 6 auf dem 12er-Blatt
- 6 * 4 = 12 auf dem 12er-Blatt
- 6 * 5 = 6 auf dem 12er-Blatt
- und so weiter...
Genauso ergeht es uns mit der 2, der 3, der 4, der 8, der 9 und der 10. Immer dann, wenn wir einmal auf der 12 landen, kommen wir nie mehr auf die 1.
Das sind alles Zahlen, die einen Teiler mit 12 gemeinsam haben: 12 = 3 * 4 = 2 * 6:
- 2 = 2 (klar!)
- 3 = 3 (klar!)
- 4 = 2 * 2
- 8 = 2 * 2 * 2
- 9 = 3 * 3
- 10 = 2 * 5
Genauer gesagt genügt es schon, wenn die Zahl X einen "Primfaktor" mit 12 gemeinsam hat, damit es keine Zahl Y gibt mit X * Y = 1, aber über "Primzahlen" und "Primfaktoren" erzähle ich Euch an anderes Mal!
Für die Zahlen X = 5, 7 und 11 wiederum gibt es jeweils eine Zahl Y mit X * Y = 1:
- 5 * 5 = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 1 auf dem 12er-Blatt
- 7 * 7 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 1 auf dem 12er-Blatt
- 11 * 11 = 11 + 11 + ... + 11 = 1 auf dem 12er-Blatt
Letzte Woche haben wir mit Hasen gerechnet.
Lade hier die Anleitung der "Hasenzahlen" als PDF herunter!
Heute rechnen wir weiter. Die "Hasenzahlen" werden in der Mathematik auch "Fibonacci-Folge" genannt, nach dem italienischen Mathematiker Lenoardo Fibonacci. Er lebte vor mehr als 800 Jahren in Italien und war der Chefmathematiker am Hofe von Kaiser Friedrich II., König von Sizilien.
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Rechts seht Ihr Leonardo Fibonacci (1170 - 1240), ein italienischer Mathematiker. Er hat unsere Hasenzahlen als erster aufgeschrieben und entdeckt.
(CC BY-SA 2.0, public domain).
Stellt Euch vor, Ihr seid Mitspielerin oder Mitspieler in einer Spielshow im Fernsehen! Ihr könnt ein Auto gewinnen. Oder eine Spielkonsole! Oder etwas Anderes ganz Tolles! Und wie bei einer Lotterie gibt es auch Nieten. Das sind hier Ziegen.
Ihr seid vor die Wahl gestellt, eine Tür mit Nummer 1,2,3 zu wählen.
Nachdem Ihr das gemacht habt, öffnet der Moderator (oder die Moderatorin) eine der anderen beiden Türen. Und dahinter ist eine Ziege! Ich muss dazu sagen, dass er (oder sie) weiß, hinter welcher Tür das Auto steht! Es wird aber immer eine Tür mit Ziege geöffnet.
Und seid Ihr vor die Frage gestellt: Wollt Ihr bei der Tür bleiben, die Ihr gewählt habt, oder wollt Ihr wechseln?
Beispiel: Ihr habt Tür 1 gewählt, es wird Tür 2 geöffnet und Ihr habt die Wahl, zu Tür 3 zu wechseln.
Das sollte doch keinen Unterschied machen, oder…? Schreibt einmal alle Möglichkeiten auf!
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Erklärung
Lasst uns einmal alle Möglichkeien aufschreiben. Nehmen wir der Einfacheit halber an, dass wir Tür 1 gewählt haben. Das nennt man in der Mathematik "ohne Einschränkung der Allgemeinheit". Es bedeutet, dass wir un Schreibarbeit sparen, weil sich an den Zahlen und Gedanken nichts ändert, wenn wir anfänglich Tür 2 oder Tür 3 wählen. Am Ende wollen wir ja nur wissen, ob es einen Unterschied macht, wenn wir die Tür wie vom Moderator vorgeschlagen wechseln, nachdem er oder sie eine Tür geöffnet haben.
Also: Wir entscheiden uns für Tür 1. Dann öffnet der Moderator eine Tür mit einer Ziege (klar!). Dafür gibt es folgende Möglichkeiten:
Tür 1 | Tür 2 | Tür 3 | Moderator öffnet welche Tür? | Gewinnen wir, wenn wir die Tür wechseln? |
Ziege | Auto | Ziege | 3 | Ja |
Ziege | Ziege | Auto | 2 | Ja |
Auto | Ziege | Ziege | 2 oder 3 |
Nein |
Wir sehen also: Ohne Moderator/in haben wir eine Chance von 1:3 ≈ 33,33%, das Auto zu gewinnen, wir wählen einfach wie bei einer Lotterie eine von drei Türen. Bei diesem Spiel aber steigt unsere Gewinnchance auf 2/3 ≈ 66.6%, weil wir in zwei von drei Fällen das Auto gewinnen, wenn wir wechseln!
Glaubt Ihr nicht? Dann spielt das Spiel doch einfach mal 20x oder 30x mit Euren Geschwistern und schreibt auf, wie oft Ihr gewinnt, wenn Ihr die Tür wechselt! Es gibt angeblich sogar Mathematiker/innen, die die Aussagen des Ziegenproblems ablehnen und nicht daran glauben, dass es sich lohnt, die Tür zu wechseln.
Wenn wir das Ganze mathematisch noch gründlicher betrachten, müssen wir Begriffe wie "bedingte Wahrscheinlichkeiten" benutzen. Das sind Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse unter der Bedingung, dass zuvor ein anderes Ereignis eingetreten ist.