Letzte Woche haben wir mit Hasen gerechnet.  

Lade hier die Anleitung der "Hasenzahlen" als PDF herunter!

Heute rechnen wir weiter. Die "Hasenzahlen" werden in der Mathematik auch "Fibonacci-Folge" genannt, nach dem italienischen Mathematiker Lenoardo Fibonacci. Er lebte vor mehr als 800 Jahren in Italien und war der Chefmathematiker am Hofe von Kaiser Friedrich II., König von Sizilien.

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Rechts seht Ihr Leonardo Fibonacci (1170 - 1240), ein italienischer Mathematiker. Er hat unsere Hasenzahlen als erster aufgeschrieben und entdeckt.
(CC BY-SA 2.0, public domain).

Stellt Euch vor, Ihr seid Mitspielerin oder Mitspieler in einer Spielshow im Fernsehen! Ihr könnt ein Auto gewinnen. Oder eine Spielkonsole! Oder etwas Anderes ganz Tolles! Und wie bei einer Lotterie gibt es auch Nieten. Das sind hier Ziegen.

Ihr seid vor die Wahl gestellt, eine Tür mit Nummer 1,2,3 zu wählen.

Nachdem Ihr das gemacht habt, öffnet der Moderator (oder die Moderatorin) eine der anderen beiden Türen. Und dahinter ist eine Ziege! Ich muss dazu sagen, dass er (oder sie) weiß, hinter welcher Tür das Auto steht! Es wird aber immer eine Tür mit Ziege geöffnet.

Und seid Ihr vor die Frage gestellt: Wollt Ihr bei der Tür bleiben, die Ihr gewählt habt, oder wollt Ihr wechseln?

Beispiel: Ihr habt Tür 1 gewählt, es wird Tür 2 geöffnet und Ihr habt die Wahl, zu Tür 3 zu wechseln.

Das sollte doch keinen Unterschied machen, oder…? Schreibt einmal alle Möglichkeiten auf!

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Erklärung

Lasst uns einmal alle Möglichkeien aufschreiben. Nehmen wir der Einfacheit halber an, dass wir Tür 1 gewählt haben. Das nennt man in der Mathematik "ohne Einschränkung der Allgemeinheit". Es bedeutet, dass wir un Schreibarbeit sparen, weil sich an den Zahlen und Gedanken nichts ändert, wenn wir anfänglich Tür 2 oder Tür 3 wählen. Am Ende wollen wir ja nur wissen, ob es einen Unterschied macht, wenn wir die Tür wie vom Moderator vorgeschlagen wechseln, nachdem er oder sie eine Tür geöffnet haben.

Also: Wir entscheiden uns für Tür 1. Dann öffnet der Moderator eine Tür mit einer Ziege (klar!). Dafür gibt es folgende Möglichkeiten:

 Wir sehen also: Ohne Moderator/in haben wir eine Chance von 1:3 ≈ 33,33%, das Auto zu gewinnen, wir wählen einfach wie bei einer Lotterie eine von drei Türen. Bei diesem Spiel aber steigt unsere Gewinnchance auf 2/3 ≈ 66.6%, weil wir in zwei von drei Fällen das Auto gewinnen, wenn wir wechseln!

Glaubt Ihr nicht? Dann spielt das Spiel doch einfach mal 20x oder 30x mit Euren Geschwistern und schreibt auf, wie oft Ihr gewinnt, wenn Ihr die Tür wechselt!

Wenn wir das Ganze mathematisch noch gründlicher betrachten, müssen wir Begriffe wie "bedingte Wahrscheinlichkeiten" benutzen. Das sind Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse unter der Bedingung, dass zuvor ein anderes Ereignis eingetreten ist.