Die Zahl 24 spielt in unserem Leben eine große Rolle: Ein Tag hat genau 24 Stunden. Wir werden heute einen kleinen Zahlentrick lernen, der mit 24 zu tun hat.
Wähle irgendeine Startzahl größer oder gleich 5, die nicht durch 2 und auch nicht durch 3 teilbar ist. Beispiele:
5, 7, 11, 35, 55, …
Nimm’ diese Zahl mit sich selbst mal (in der Mathematik sagt man, wir “quadrieren” die Zahl):
52 = 25
72 = 49
, ...
Ziehe 1 ab:
52 - 1 = 25 – 1 =24
72 - 1 = 49 – 1 = 48
, …
ab und prüfe dann, ob das Ergebnis durch 24 teilbar ist. Was fällt Dir auf? Bleibt bei irgendeiner Startzahl ein Rest?
Kannst Du Dir vorstellen, woran das liegt?
Lade hier die Anleitung herunter!
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Erklärung
Alle Zahlen, die wir wie oben beschrieben produzieren
52 - 1 = 25 – 1 =24
72 - 1 = 49 – 1 = 48
, …
, können wir als x2 - 1 schreiben. Dabei bezeichnet "x" eine Zahl, die nicht durch 2 und nicht durch 3 teilbar ist. Wir können zuerst einmal die Gleichung x2 -1 anders aufschreiben:
x2 - 1 = (x-1) * (x+1)
Rechne einmal nach! Wir wollen also zeigen wollen, dass x2 - 1 durch 24 teilbar ist.
Werfen wir einen Blick auf den Zahlenstrahl und markieren alle Zahlen, die durch 2 teilbar sind:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Und jetzt färbe ich alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Und hier alle Zahlen, die weder durch 2 noch durch 3 teilbar sind:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Eine von diese Zahlen sollen wir auswählen, das ist unser "x". Schau' Dir x-1 und x+1 an. Beide Zahlen sind gerade (also durch 2 teilbar), weil sie Nachbarn einer ungeraden Zahl (nicht durch 2 teilbar) sind. Das Produkt
(x-1) * (x+1)
ist durch 8 teilbar: Zuerst ist jeder Faktor ein Vielfaches von 2. Einer der Faktoren ist auch durch 4 teilbar, weil jede zweite gerade Zahl durch 4 teilbar ist, und wir haben hier zwei gerade Zahlen vor uns. Das Produkt ist also durch 2 * 4 = 8 teilbar!
Beispiel:
x = 11
x-1 = 10 = 2 * 5 , x+1 = 12 = 2 * 6 = 4 * 3
(x-1) * (x+1) = 120 = 4 * 30 = 8 * 15
Wir können uns außerdem überlegen, dass von drei aufeinanderfolgenden Zahlen
x-1 , x , x+1
immer eine davon durch 3 teilbar sein muss. Die Zahl x kann es nicht sein, also muss x-1 oder x+1 durch 3 teilbar sein. Das Produkt (x-1) * (x+1) ist also auf jeden Fall durch 3 teilbar!
Weil 3 und 8 keinen gemeinsamen Teiler haben, muss das Produkt (x-1) * (x+1) also durch 3 * 8 = 24 teilbar sein!
Das hier war ein Beispiel eines mathematischen Beweises! Er ist nicht ganz einfach, also schau' Dir alles in Ruhe an oder rechne selber einige Beispiele nach. Und wenn Du Fragen hast, schreibe gerne an Diese E-Mail-Adresse ist vor Spambots geschützt! Zur Anzeige muss JavaScript eingeschaltet sein!.
